Причастие не замеченной следует писать раздельно. Но обратите внимание, что с точки зрения стилистики предложение лучше перестроить и использовать действительный залог вместо страдательного: Эксперты не могли не заметить работу рулевого нашей команды.
Верно: остаться незамеченным.
Верно: Он даже не знал, где живет Павел, и в его коротком, оставшемся незамеченным взгляде был и этот вопрос.
Слова зачем и ни за чем (низачем) не являются "грамматической парой". Зачем - слово с функциональностью союза, со значением цели. Низачем - ответная реплика в просторечии, в разговорной речи. Это слово можно написать слитно, по аналогии с незачем (=бесцельно) и нипочем, но, подчеркнем, относится оно только к разговорно-просторечной сфере, а значит, с трудом поддается "орфографической кодификации".
В данном контексте верно: ни к чему.
Все три предложения безличные, и в них, строго говоря, не сказуемые, а главные члены. В первом и втором примерах главный член построен по модели сложного трехчленного сказуемого: модальный компонент, выраженный словом категории состояния (надо, достаточно) + формальная связка (в настоящем времени нулевая, в других временах и наклонениях выраженная, ср.: Мне надо будет прочитать эту книгу) + смысловой инфинитив.
В третьем примере в главном члене тоже модель сложного трехчленного сказуемого, но другая: бытийный глагол + вопросительно-относительное или отрицательное местоимение + инфинитив. В отсутствие отрицания бытийный глагол выражен: Ей как раз есть зачем притворяться. При введении отрицания бытийный глагол сохраняется во всех временах и наклонениях, кроме настоящего: Ей будет незачем притворяться. А вот в настоящем времени бытийный глагол начинает вести себя так же, как формальная связка, то есть превращается в нуль. Это и наблюдается в вашем примере.
Вообще, разграничение полнозначного бытийного глагола быть и омонимичной ему формальной связки в подобных примерах довольно дискуссионно. С одной стороны, тот факт, что в утвердительном варианте Ей есть зачем притворяться мы наблюдаем ненулевую форму есть, свидетельствует о том, что это полнозначный глагол: формальная связка в настоящем времени должна превратиться в нуль. Это подтверждается и тем, что есть можно заменить на найдется, имеется (Ей всегда найдется зачем притворяться), которые являются полнозначными глаголами. С другой стороны, в отрицательном варианте при отрицательном местоимении может быть использована стандартная полузнаменательная связка: После этих признаний ей оказалось незачем далее притворяться. А полузнаменательная связка возникает только на месте формальной связки.
Если же имеется в виду, как охарактеризовать главные члены этих предложений с позиций школьной грамматики, то можно сказать, что во всех трех примерах в главных членах использована модель усложненного составного глагольного сказуемого.
Цитата оформлена верно.
