Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Фраза некорректна.
По правилам мужская фамилия Гельвер склоняется, женская — нет. Подробнее см. в "Письмовнике".
Представить — дать, вручить для ознакомления, осведомления или официального рассмотрения, заключения. Предоставить — дать возможность кому-либо обладать, распоряжаться, пользоваться чем-либо (предоставить слово, предоставить отпуск).
Таким образом, по смыслу подходит глагол представить, хотя фраза представить тетрадь на проверку звучит слишком официально. Тетради на проверку всё-таки обычно сдают.
Правильно: о кровати, на кровати; в тетради, на площади.
Оба варианта корректны. Куда - местоимение (местоименное наречие).
Такого документа не существует. На обложке тетради точка после фамилии и имени не ставится (т. к. фамилия и имя не представляют собой законченного предложения, высказывания).
Предпочтительно использовать кавычки.
В школьной практике (особенно в младших классах) точка в конце заголовка (Диктант. Классная работа. Сочинение.) обычно сохраняется. Это делается, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку. Поэтому учителя часто считают отсутствие точки ошибкой.
Оба варианта возможны.