Верно: ...века (в единственном числе).
Пример относится к случаям, когда «перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны» (см. пункт 4 параграфа 194 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»). Существительное здесь употребляется в единственном числе: Нанесите тени на верхнее и нижнее веко.
Во веки веков – вечно, всегда.
Правильно: в конце XIX – начале XX века.
Правильно: конец XVIII — начало XIX века.