Оба варианта некорректны. Верно: у (кого-то) выходной день.
Верно: находиться в суде, присутствовать на процессе (на заседании).
Такое употребление возможно.
Нет, верно: начать учиться читать.
Верно: непонятно где.
Такое словосочетание нельзя назвать корректным.