Сочетание корректно. См. словарную статью «Наркоз».
Корректно с прописной.
В таких случаях наречие пишется с двумя дефисами: по-нью-йоркски, по-нью-орлеански...
Если банк называется «Москва», правильно: управляющему банком «Москва». Если имеется в виду «Банк Москвы», правильно: управляющему «Банком Москвы».
Предпочтительно в большинстве контекстов: управляющая банком.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».
Сложные слова с первой частью нарко- пишутся слитно.