В правилах орфографии прямых указаний нет. Однако в словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?» зафиксированы названия некоторых художественных и научных школ со строчной буквы (барбизонская школа живописи, венецианская школа живописи, владимиро-суздальская школа (зодчества и иконописи) и др.). На эти написания можно опираться как на прецедентные.
Здесь верно: Награждается ученица 3 класса МОУ "Школа № 29".
Название без родового слова следует склонять: учитель «Ивановской основной школы» — филиала МБОУ «Петровская средняя школа».
Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Как правило, название пишется без кавычек, но уставом образовательной организации может быть предусмотрено и написание в кавычках. Т. е. нужно читать устав.
Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».
Верно: работает в ГБОУ Школа.
Написание в кавычках корректно.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Корректно: школа № 1.