О склонении аббревиатур читайте в "Письмовнике".
Лучше всего написать: мэру Москвы. В канцелярской речи: мэру города Москвы.
Предложение Череповец выбрал мэра тоже верное, в нем используется метонимия.
Лучше всего: мэру Хабаровска. Канцелярский вариант: мэру города Хабаровска. Вариант мэру города Хабаровск не соответствует литературной норме.
Правильно: мэр города Магнитогорска (см. Горячую десятку вопросов).
Правильно: мэр города Иркутска.
Правильно: центр МРТ-диагностики, МРТ-аппарат. Пишутся через дефис сложные слова с первой частью – буквенной или звуковой аббревиатурой.
См. ответ на вопрос № 274377.
Верен первый вариант.