В русском литературном языке в значении 'передняя часть ступни; передний конец обуви, чулка и т. п.' употребляется слово носок (не мысок). Правильно: привстал на носки сапог.
Скорее, это упущение лексикографов. "На мысочках" как слово из детского лексикона вполне употребительно.