Верное написание - мостить, но лучше написать примостить (поместить сбоку, с краю и т. п.).
Эти слова могут быть синонимами, но не в любом контексте. Подробнее см. в словарях.
Правильно: встать на носочки.
В толковых словарях русского языка слово пустить в таком значении не зафиксировано, поэтому приведенное Вами сочетание некорректно.
См. в Справочнике по фразеологии.
Оба слова есть в русском языке.
Правильно: мерить температуру.