Словосочетание военно-морской флот как обобщенное название вида вооруженных сил является нарицательным и пишется строчными. Если же речь идет о ВМФ как части вооруженных сил конкретной страны, тогда это наименование становится собственным.
Что касается Военно-Морского Флота как части Вооруженных Сил Российской Федерации: рекомендуемое лингвистическими источниками написание этого сочетания противоречит (как нередко бывает) написанию, принятому в официальной письменной речи. Орфографические словари фиксируют написание Военно-морской флот РФ, однако в официальном «Кратком справочнике по оформлению актов Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации» зафиксировано: Военно-Морской Флот. Поэтому рекомендуемый вариант: День Военно-Морского Флота.
Корректно: эсминец британского королевского флота.
Корректно: особый отдел краснознаменного Балтийского флота.
Орфография эпохи Жуковского отличалась от современной, не было жестких норм. Данное написание может в принципе свидетельствовать о произношении этого слова Жуковским.
Правильно: наши.
Да, женская фамилия Слота склоняется.
См. ответ на вопрос № 269217.
Сочетание адмирал флота пишется строчными: адмирал флота Кузнецов.