Корректно: получил название Марсова поля.
Здесь верно: поля.
В таких случаях род определяется по родовому слову, то есть "Поль Бейкери" также женского рода: соседняя "Поль Бейкери".
Можно использовать оба предлога, при этом на поле - употребительнее о спортивном сооружении (например, о футбольном поле), в поле - о сельскохозяйственном объекте.
Корректно: ...поля обязательны для заполнения.
Пожалуйста, обратитесь к статье "Семантическое поле" в энциклопедии "Кругосвет".
Устойчивое сочетание -- одного поля ягоды. Подробнее см. в «Справочнике по фразеологии».
Глагол шастать выражает неодобрение. Таким образом, если у Вас нет цели показать неодобрение и если это не шуточный текст, то верно: бродят по полю.