Запятые нужно поставить.
Правильно: центральный рынок (как нарицательное наименование), Центральный рынок (как собственное наименование).
Правильно: Центральный дом работников искусств. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово (и входящие в состав названия имена собственные, если они есть).
Корректно: По сегодняшней ситуации будЕт проведен детальный анализ и будУт приняты меры.
Оба названия пишутся с большой буквы: Центральный экономический район, Центральный регион.
Это сочетание избыточное, но в некоторых случаях его употребление может быть стилистически оправданным.
Фраза корректна, но трудна для восприятия: между модальным глаголом старались и инфинитивом препятствовать помещен еще один модальный глагол могли (в данном случае образующий цельное по смыслу выражение как могли = 'по мере сил'). Лучше отредактировать предложение, изменив порядок слов: Они старались препятствовать развитию торговли как могли.
