Правильно: оканчивающий университет. См. также ответ на вопрос № 259089.
Название университета склоняется: в Карловом университете.
С прописной буквы пишется первое слово названия: Мюнхенский технический университет.
Верное управление: дан старт чему. Однако со словом университет сочетание неудачно.
Оба варианта верны, при этом первый сегодня носит разговорный оттенок.
Существительное пед — достаточно распространенное и зафиксированное словарями русского языка разговорное слово, означающее 'педагогический институт, университет'. Поэтому при передаче на письме разговорной речи в кавычки это слово заключать не надо: учился в педе. Менее известные разговорные названия вузов могут потребовать выделения кавычками (но многое зависит от стиля текста и того, насколько известно такое разговорное название потенциальному читателю).