Материк и континент — синонимы, они вполне взаимозаменяемы. Корректно с прописной: Евразийский континент, Африканский континент, Австралийский континент.
Видимо, будущее этого территориального названия, местного по сфере употребления, за большой буквой, по общему правилу о написании географических и административно-территориальных названий (по этому же правилу кавычки не нужны). Близкий по значению пример — Большая земля (материк). Можно вспомнить и другие, похожие по составу, но отличные по значению, названия: Большая Москва, Большой Сочи.
Слово материк нужно написать со строчной буквы. С прописной пишется словосочетание Большая земля в значении 'материк'.
Здесь возможны оба варианта, как с единственным, так и со множественным числом.
Скорее, ошибка автора письма ученому соседу (наряду с прочими ошибками персонажа). Если внимательно прочитаете текст, найдете там также "извените" и иные "ашипки".
Правильно: Большая земля в значении «материк»: на Большой земле.
Запятая перед тире нужна: необходимо «закрыть» придаточное предложение.