Это не идиома.
Во избежание путаницы лучше: в торговом центре "Электронный рай". Если в сочетании лес доменов слово лес используется в переносном значении, корректно: в лесу доменов (находиться); в лесе доменов (разбираться).
Предложный падеж с местным значением: в зимнем лесу.
Оба сочетания возможны, выбор предлога зависит от контекста. Ср.: за весь срок действия заграничного паспорта так ни разу и не выехал из России и эти условия распространяются на весь срок действия договора.
Лучше всего написать: лес, в котором растут только каменные дубы (...растет только каменный дуб).
Приинфинитивная часть составного глагольного сказуемого в данном случае выражает модальное значение (отношение субъекта к действию).
См.: http://new.gramota.ru//biblio/readingroom/textbooks/author/litnevskaya/part5#312
Можно в этом случае говорить о метатезе.
Написание неустоявшееся. Лучше: в глубь леса (ср.: в глубину леса).