Кавычки не нужны, т. к. слова употребляются в прямом значении. Корректно: майские указы.
Пишется строчными: майские праздники.
Возможно с запятой: весеннее, майское небо.
Правилен первый вариант.
В форме повелительного наклонения глаголов перед -те пишется ь: прижучьте.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
