Мужская фамилия Ляман склоняется (форма дат. п. – Ляману). Соотносительная женская фамилия несклоняема.
Не склоняется.
Оба варианта правильны.
Об озере верно: поехать на Ламу.
Верно: Пока они не лягут спать.
В этом значении употребляются оба слова.