Корректно: предъявлять претензии кому-либо, иметь претензии к кому-либо.
Правильны оба варианта. См. в учебнике Е. И. Литневской, раздел «Глагол. Вид как морфологический признак глагола».
Правильно: зависть к кому-либо (но: завидовать кому-либо).
Сами по себе эти слова не требуют обособления. Но пунктуация зависит от строя конкретного предложения.
Да, от глагола действительного залога класть образуется глагол страдательного залога класться, являющийся стилистически нейтральным. Например: чемодан кладется на нижнюю полку, на верхнюю полку чемодан не кладется.
Верно: подать иск к кому-либо.