Пол- ― корень, со словообразовательной точки зрения является результатом усечения основы производящего слова половина.
Элемент -у- в полу- является интерфиксом, подобным интерфиксам -о- и -е- в словах типа пароход, овощехранилище, большеглазый и т. п., которые в школьной практике называются соединительными гласными. Ср.: полубокс, полугодие, полумягкий и т. д.
Правильно писать и говорить: лягте.
Правильно: пол православной Москвы.
Предпочтительно: мыть, убирать, мести пол.
Корректно: получил название Марсова поля.
Верно: при таком-то поле.
Лучше перефразировать, например: расширение сферы дипломатической деятельности (дипломатической сферы).