Логистик — специалист по материально-техническому обеспечению, логист — приверженец логистики как одного из философских направлений математики.
Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
Корректно слитное написание.
Не нужна.