Правильно: Гуму.
Правильно: логопед.
Верно раздельное написание: сойти с ума.
В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.
Запятая нужна. Составной союз вследствие того что обычно расчленяется, запятая перед что ставится.
Правильно: играет Робин Гуда.