Да, это словосочетание: между существительным и местоимением есть подчинительная синтаксическая связь.
Запятая нужна: То левой, то правой лапой медведь запихивал хворост в берлогу.
Кавычки не нужны. Но лучше сказать "пишет как курица лапой".
Дополнительные знаки препинания не нужны.