Нет, так сказать нельзя. Правильно на кой чёрт или какого чёрта, за каким чёртом.
Географическое название, употребленное с родовым наименованием площадь, выступающее в функции приложения, обычно не склоняется. Правильно: на площади Красные Ворота.
Верно: он занимался черт-те чем.
Эта запятая не нужна.
Перед и лучше поставить тире.
Дополнительные знаки препинания в этих предложениях не требуются.