Правильно: купание.

Правильно: на побережье. У слов среднего рода на -ье в предложном падеже окончание -е.

Запятая перед и не требуется в обоих случаях.

Действительно, забавная опечатка :) Исправлено. Спасибо за замечание!

Вы правы: на пляже отдыхают, загорают, а купаются в воде. Распространенность сочетания купание на пляже, видимо, можно объяснить тем, что пляж в этом случае широко понимается как в целом место для отдыха, где есть и песок, и какая-то вода (река, море и др.). Представляется, что такое сочетание можно признать допустимым в непринужденной речи, но не в образцовом употреблении.

В значении 'кондитерские изделия' слова сласти и сладости равноправны и взаимозаменяемы.

Разнобой в словарных рекомендациях, к сожалению, встречается нередко. Объясняется это проявлением языкового вкуса лексикографов, различным пониманием ими нормы и другими факторами. Одни словари (в основном адресованные работникам радио и телевидения) принципиально не допускают вариантов, даже в случае их безусловной равноправности. Другие словари, напротив, стремятся отразить динамику нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка.

По существу Вашего вопроса: большинством словарей варианты тефтели и тефтели все же признаются равноправными.

Нормативно: родом с Кубани. Это исторически сложившийся вариант предложного управления. 

Правильно: Курение в здании запрещено.