Корректно: стирательная резинка, резинка, ластик (впрочем, некоторые лексикографы считают, что это наименование носит разговорный характер). Стёрка, стирка, стирашка, гумка, клячка, клачка и др. — просторечные и региональные наименования этого предмета.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
Кли-чка; клич-ка.
Это имена существительные.
В зависимости от смысла возможны два варианта: избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжегшего ладонь и избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжигавшего ладонь.