Чаще говорят кличка. Но использовать слово имя в этом случае тоже не запрещено.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Кли-чка; клич-ка.
Это имена существительные.
В зависимости от смысла возможны два варианта: избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжегшего ладонь и избавиться от кусочка бумаги, неожиданно обжигавшего ладонь.