Предпочтительный вариант: чЕлюстями.
В русском литературном языке видовая пара несовершенного вида к глаголу залезть — залезать.
Предпочтительно (но необязательно): ...находится диван, кресло, кровать.
Это не идиома.
Оба варианта возможны, есть разница в значении: употребление предлога на подчеркивает, что речь идет о поверхности. Ср.: лечь в кровать и уснуть – лечь на кровать в одежде.