Верно: продлевает.
Правильно: Почетная грамота Министерства образования РФ.
Мужская фамилия склоняется (Баренбойма, Баренбойму и т. д.), женская – нет.
Правильно написание строчными буквами: почетная грамота.
Запятая ставится.
Оба варианта корректны.