Пунктуация корректна.
Запятая нужна: Он повернулся проверить, не прибыл ли посыльный.
Согласование по смыслу (моя врач) возможно в разговорной речи. В письменной официальной и нейтрально-деловой речи определение согласуют с определяемым существительным по внешней форме: мой врач. Предпочтительно: мой врач прописал...