Форма мн. ч. в указанном значении используется.
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста. Второй вариант, как правило, используется с притяжательным местоимением: не в (чьей-то) компетенции.
Напишите, пожалуйста, предложение целиком. Постараемся помочь с редактурой.
Верно: повышать компетентность (уровень знаний), расширять компетенцию (круг вопросов, полномочий). Оба сочетания не являются заменой сочетанию "повышать квалификацию".
Возможны оба варианта.
Сочетание некорректно.
Наиболее удачная форма — в кавычках со строчной буквы.
Это, кажется, бессмысленное выражение.