Правильно: кануть в Лету.
Правильно с прописной: кануть в Лету.
Верно: Назначить ответственное лицо... А лучше: Назначить лицо, ответственное за содержание в исправном состоянии.
Оба варианта верны.
Лучше: Как не потерять лицо?
Кое-, -либо, -то, -нибудь – ты дефис не позабудь. См. также «Учебник ГРАМОТЫ».
Кануть в Лету (книжн.) - 1) бесследно и навсегда исчезнуть, уйти в небытие (о человеке); 2) быть навечно забытым, преданным забвению (о событиях, фактах, воспоминаниях). Выражение восходит к греческой мифологии, где Лета - река забвения в подземном царстве Аида, царстве мертвых.