Корректно: (специалист) по ремонту квартир.
Верно: Много квартир сдавалось внаем летом.
Корректно: Предварительная потребность в жилых помещениях составляет 3 однокомнатные квартиры.
Обратите внимание, что такая формулировка допустима только в канцелярской речи, в других типах текста она неуместна.
По смыслу лучше "в квартирах".
Правилен первый вариант.
Вполне корректно: награждается квартет.
Корректно: жить в квартире, войти (идти) в квартиру.
Запятая не нужна. Больше чем одна в этом случае значит 'больше одной'.