Да, в слове каучук три слога: ка-у-чук.
На наш взгляд, слово исходного здесь лишнее, а каучук следует склонять: Высокая эластичность материала (каучука) не даст шине лопнуть даже при давлении в…
Правильно: прийти.
В литературе встречается и другое написание: гуммиэластик, гумиластик, гумеластик.