В названии склоняются обе части. Об этом можно узнать из словарей ресурса «Проверка слова».
Верно: в Бабьем Яре.
Словарь показывает модель склонения для сочетания притяжательного прилагательного и существительного мужского рода (ср. Бабий Яр). Следовательно, первая часть топонима изменяется как притяжательное прилагательное мужского рода (так же, как прилагательное отцов), а вторая — как существительное мужского рода (так же, как существительное город): в Часовом Яре, под Часовым Яром.
Словарь Е. А. Левашова «Географические названия» фиксирует прилагательное часовярский. Но на практике в большинстве случаев используется вариант часовоярский.
Пожалуйста, обратитесь с этим вопросом к нашим украинским коллегам – сотрудникам лингвистического портала MOVA.info.
Такие фамилии склоняются, если они принадлежат мужчинам. Женские фамилии склонять не следует.
