Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Правильно: 9 июня объявлено днем траура.
Верно: Двадцать второго июня тысяча девятьсот сорок первого года началась Великая Отечественная война.
См. в Непростых словах.
Запятая поставлена правильно.
Первая запятая возможна: обороты по условиям (чего-либо) могут обособляться с целью интонационно-логического выделения (решает автор текста). Вторая запятая не нужна.
Первые варианты правильные.