Без мягкого знака пишется форма 3-го лица ед. числа (отвечающая на вопрос что делает?): он не заботится о себе. С мягким знаком пишется инфинитив (неопределенная форма глагола, отвечающая на вопрос что делать?): Как можно так не заботиться о себе?
Правильно: вопреки (чему?) мнению.
Прилагательные в этом предложении являются именной частью сказуемого.
Отличия стилистические: про – разговорный вариант.
Запятая не требуется: о себе да о себе.