Корректно: политологи ломают голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Возможны оба варианта.
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.
Такой оборот некорректен.
Предпочтительно: головы полны знаний. Используются оба варианта управления (полон чего и полон чем), но с разными оттенками значения.
Корректно: кружить голову кому-либо.