В приведенном примере корректен второй вариант. Подробно об ответственности см. ответ № 218887.
Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Возможны оба варианта.
Верно: умеет избегать конфликтных ситуаций.
Если вводное слово стоит в начале обособленного оборота – запятые ставятся перед вводным словом и после всего обособленного оборота. После вводного слова запятая не ставится. Поэтому верно: СБУ углядело в действиях "тоталитарного режима", надо полагать российского...
Верно: избегать продуктов с содержанием жиров.
Нормативных указаний нет. Корректно: помазать мазью "Левомеколь". В разговорной речи возможно: помазать левомеколем. Отметим, что в медицинской литературе встречается сочетание повязка с левомеколем.
Глагол избегать требует родительного падежа: избегать резких движений.