Нет оснований писать слово заявитель с большой буквы.
В документах верно: заявитель Иванова.
Строгая норма: заявитель обращался. Нестрогий вариант: заявитель обращалась.
Корректно: ...именуемый в дальнейшем Заявитель.
Нужны две запятые:
В целях проверки факта, является ли заявитель собственником имущества, департамент запрашивает необходимые сведения.
Корректна форма мужского рода.
Оба варианта пунктуационно корректны. В личных письмах принято после обращения ставить восклицательный знак.