Правилен второй вариант.
Правильно: Тебе нужна машина?
Корректны оба сочетания.
Правильно: перёд машины.
Правильно: Машины руки.
Да, можно использовать притяжательное прилагательное Верина.
Такое сочетание допустимо, но чаще встречается в канцелярской речи.
Вы правы. Но слова "садясь в чужую машину" можно понять как "становясь пассажиром чужой машины".