Верно: опоздать на поезд. В разговорной речи - опоздать к поезду (т. е. к отправлению поезда).
Верно: Вечером тяжело опоздать, не как с утра.
Да, такая проверка верна.
Правильная пунктуация: Однако ремонтные работы начались только минувшим летом и, как видим, сильно запоздали.
В современном русском языке в слове заползать выделяется корень -полз-.