Правильно: Пушкинский заповедник.
Да, тире необходимо.
Название заповедника Столбы в кавычки не заключается.
Да, Вы правы. Кавычки уместны.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").