Правильно : «Просим забронировать двухместный номер на имя директора Ивановой Анны Ивановны».
Поиски интересующего Вас слова привели нас к неологизмам забукировать и забукать. Именно эти глаголы (восходят к англ. book) могут использоваться в значении «забронировать, зарезервировать». Первый глагол встретился на газетных страницах, а второй — на просторах интернета.
Корректно: забронировать подходящую гостиницу или подходящий тур.
Правильно: согласно заявке.
Правильно: ...и в России, и за рубежом. См. в в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации», параграф 146.