Нормативна и стилистически нейтральна именно такая конструкция: женщина-полицейский.
Верно: Работала в должностях упаковщика и работника торгового зала. Но: Работала упаковщицей и работницей торгового зала.
Правильно с прописной буквы.
Здесь нет оснований для запятой. Даже интересно, где ее хотела поставить работница банка?
См. в «Письмовнике».
Верно: Поздравляю Вас с Днем медицинского работника.
См. ответ 290554.
Мужская фамилия склоняется, причем предпочтительно склонение без выпадения гласной: Заяца, Заяцу.
Первый вариант лучше.