Кавычки факультативны.
Поскольку нет никаких сомнений в том, что выражение забить шайбу существует (см. ответ на вопрос № 319678), то вопрос о корректности — это вопрос не о том, возможно ли выражение, а о том, в каких текстах оно уместно. Если оборот забросить шайбу стилистически нейтральный, то изначальная принадлежность разговорной речи предполагает обязательную «примерку» выражения забить шайбу — оценку его допустимости для конкретного речевого случая.
Да, можно.
Большой толковый словарь
Забить гол - грамотно.
Вполне соответствует.
Выражения забить шайбу и забить козла «родом» из разговорной речи и известны начиная с 60-е годов ХХ века.
Нет, этот оборот не нужно заключать в кавычки.
Можно так: Жаль, что в памяти нет кнопки "забыть".
Такое употребление неверно. См. также «Непростые слова».
Согласно морфемно-орфографическому словарю А. Н. Тихонова, в этом слове приставка не выделяется. Корень: нипочем.