Правильно: согласно журналу учета.
Выбор варианта зависит от контекста.
Правильно слитное написание.
Верно только: подписка на журнал.
Хотя слово демократия и означает в буквальном переводе с греческого «власть народа», сочетание народная демократия стало устойчивым, закрепилось в языке советской эпохи для обозначения политической организации общества в государствах Центральной и Восточной Европы во второй половине XX века (страны народной демократии). Сочетание это корректно, оно не нарушает нормы языка.
Если перед нами имя собственное (подлинное название конкретного журнала), то правильно: «Журнал Американского химического общества».
Знак препинания не требуется.
Склоняется, конечно. Правильно: опубликовано в «Международном неврологическом журнале». Ср.: опубликовано в «Литературной газете».