Корни АУ и БАЮ.
В «Грамматическом словаре русского языка» А. А. Зализняка формы жажди, жаждите приведены в качестве нормативных.
В непринужденной речи кавычки не требуются. В остальных случаях эти слова лучше писать в кавычках.
После Гуркулеса (Геркулеса) знак препинания не ставится.
Верен только один вариант: желанный.