Эти варианты равноправны.
Правильно: разыскная система. См. Азбучные истины.
Верен первый (беспредложный) вариант.
Правильно: 10-балльная система.
Если системы разные, то уместна форма мн. ч. Если это единая система, то следует использовать форму ед. ч.
См. ответы № 200437, 215894. Не рекомендуется оставлять предлог в тексте, предваряющем перечень.
Общепринятый вариант: система пожаротушения.