Верны оба варианта.
Правильно без кавычек: наука правит бал.
Ответ см. в «Письмовнике».
Здесь Бородин - фамилия?
Названия мероприятий бывают разные, соответственно и оформляются они по-разному. Если сочетание осенний бал называет именно бал (большой праздничный вечер с танцами), то кавычки не нужны. Написать это сочетание нужно с заглавной буквы, если ему придается статус официального названия мероприятия.