Верно: Верх-Нейвинский.
В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский, от Комсомольск-на-Амуре – комсомольский и (в официальных названиях учреждений, организаций) комсомольский-на-Амуре, например: Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет.
В словаре Е. А. Левашова «Географические названия» (СПб., 2000) зафиксировано прилагательное гусевский от названия города Гусь-Хрустальный. Но в официальном названии завода употребляется прилагательное гусевской. Почему выбрано название, противоречащее рекомендациям словарей, сказать сложно. Возможно, это профессионализм.
Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».
Корректно: Посетили экскурсии в парке «Патриот», на заводе...
Корректно: филиал "Завода", филиала "Завода", филиалу "Завода".